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La calibration d'un capteur
Commençons notre étude de la calibration d'un capteur à l'aide d'un exemple. Un capteur de température dans un bassin retourne une valeur encodée sur 8 bits variant de 0 à 255 inclusivement. Plus la valeur est haute, plus la température est élevée. Mais voilà, à quelle température en degré celcius correspond une valeur retournée par le capteur? La calibration nous apportera la réponse à cette question.
Définition de la calibration:
"Ajustement et/ou vérification des mesures d'un capteur à l'aide d'un second système de mesure fiable"
La première étape consiste à trouver une fonction f(x) reliant la valeur retournée par le capteur (x) et la température en degré celcius (y). Si l'on suppose que le capteur a une réponse linéaire (ce qui est généralement le cas dans la plage optimale de fonctionnement d'un capteur), alors on peut modéliser la réponse du capteur par une droite dont l'équation a la forme y=mx+b. La calibration se résumera donc à trouver les valeurs des constantes m et b.
1ière méthode: prendre seulement deux (2) mesures différentes
La première méthode de calibration repose sur le fait que deux points sont suffisants pour définir une droite. La démarche consiste donc à plonger le capteur dans un premier bassin, de noter la valeur (x1) retournée par le capteur et de mesurer la température (y1) du bassin à l'aide d'un bon vieux thermomètre à mercure (notre second système de mesure fiable). Nous avons donc un premier point (x1,y1). Il faut prendre une deuxième mesure dans un autre bassin de température différente pour obtenir un autre point (x2,y2). C'est important que la température du deuxième bassin soit différente sinon est-ce vraiment un deuxième point? Ensuite on calcule la pente à l'aide de l'équation m = (y2-y1)/(x2-x1). Finalement, nous pouvons calculer la valeur de b en utilisant le premier point et la valeur de m qui est maintenant connue: b = y1-m*x1. Lorsque les valeurs de m et b ont été calculées, on peut s'assurer de l'exactitude de nos calculs en vérifiant que les deux points (x1,y1) et (x2,y2) respectent l'équation de la droite y=mx+b
Exemple:
Un capteur retourne la valeur 10 pour une température de 25°C et 60 pour une température de 30°C. Donc:
x1=10, y1=25, x2=60,y2=30
m = (y2-y1)/(x2-x1) = (30-25)/(60-10)=0,1
b=y1-m*x1=25-0.1*10=24
Donc l'équation qui permet de trouver toute température selon la valeur retournée par le capteur est y=0.1*x+24.
Par exemple, si le capteur retourne 110, la température est de y=0.1*110+24=25°C.
Les calculs sont exacts puisque les deux points respectent l'équation de la droite: 25=0.1*10+24 et 30=0.1*60+24.
2e méthode: prendre plus de deux (2) mesures différentes
Évidemment, plus l'on prendra de mesures pour calibrer notre capteur, plus la calibration sera précise et plus les valeurs de m et de b seront proches de la réalité. Mais voilà, avec trois mesures ou plus, il faut changer de méthode de calculs. Il faut trouver la meilleur droite qui passe par tous les points en minimisant la somme des carrés des distances des points à la droite. Cette méthode est appelée la régression linéaire. La régression linéaire nous indique que les valeurs de m et b doivent être calculées de la façon suivante:
Où:
-
est le nombre de points; 
est la somme des valeurs de x;
est la somme des valeurs de y;
est la somme des valeurs de x au carré;- et
est la somme des valeurs de x multiplié par la valeur y correspondante.
Exemple:
Si l'on prends quatre mesures dans quatre bassins différents, il faut dans un premier temps calculer les sommations suivantes:
x |
y |
xx |
xy |
|
| Point 1 | 10 | 25 | 100 | 250 |
| Point 2 | 30 | 26 | 900 | 780 |
| Point 3 | 40 | 28 | 1600 | 1120 |
| Point 4 | 60 | 30 | 3600 | 1800 |
| Sommes | = 140 |
= 109 |
= 6200 |
= 3950 |
Puis, on calcule les valeurs de m et de b:
- m = ( 140 * 109 - 4 * 3950 ) / ( 140 * 140 - 4 * 6200 ) = 0,1038
- b = ( 109 - 0,1038 * 140 ) / 4 = 23.617
Calibration du sonar
Si l'on considère le sonar comme un capteur qui retourne une valeur de temps, on peut utiliser la technique précédente pour calibrer le sonar à condition la réponse du capteur peut être modélisée par une droite. Ce qui est le cas pour le sonar (pour plus de détails voir le travail sur le sonar). La calibration du sonar consiste donc à trouver les valeurs de b et de m pour trouver l'équation y=mx+b qui permettra de calculer la distance à partir du temps.
Exercice
À l'aide des mesures suivantes du sonar, pouvez-vous calculer la vitesse du son et les délais inhérents au système en sachant que la vitesse du son = 2*m et que les délais systèmes = 2*b/(-VitesseDuSon) ?
Temps (x) |
Distance (y) |
6 ms |
1 m |
12 ms |
2 m |
17 ms |
3 m |